1 3
1
2 对应于特征值 1,2 0的线性无关的特征向量为 3 2,单位化得p3 .
3 2
2 3 (4)构造正交变换:令正交矩阵P
p1,p2,p3
x1 x 2 x3
1 3 y
1
2 y2 . 3
y 2 3 3
1 3 2
,则所求正交变换为 3 2 3
2
(5)写出二次型的标准形:二次型的标准形为f 9y3.
【注意】利用正交变换化二次型为标准形的步骤: (1)写出二次型的矩阵; (2)求A的特征值;
(3)求A的两两正交且单位化的特征向量; (4)构造正交变换;
(5)写出二次型的标准形.
20.(1990—Ⅳ,Ⅴ) 已知线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 a 3x 2x x x 3x 0 12345
x 2x 2x 6x b345 2 5x1 4x2 3x3 3x4 x5 2
（1）a、b为何值时,方程组有解?
（2）方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系; （3）方程组有解时,求出方程组的全部解. 【考点】含参数的线性方程组解的讨论.
解 参考10.(1988—Ⅳ,Ⅴ),此题只能用方法一(一般情形)(为什么?请读者自己考虑).
1 3
B (A|b)
0 5
111
a 1
0r211 3 0
1226 b 0
433 1 2 0
1
1226 3a . 0000 b 3a
0000 2 2a
1111 a