证 n维列向量 1, 2, , n线性无关 A 1, 2, , n 0.又
1T 1T 1 1T 2 T TT 2 1 2 2T2 AA 1, 2, , n T T T
n2 n n1
2
1T n
T
2 n
, T
n n
则D ATA A,即D 0 A 0.
29.(1991—Ⅴ)设n阶矩阵A和B满足条件A B AB.
1 30
(1)证明A E为可逆矩阵; (2)已知B 210 ,求矩阵A.
002
【考点】证明抽象矩阵可逆及解矩阵方程.
证 (1)由A B AB (A E)B (A E) E (A E)(B E) E,则A E可逆.
1 1 1
(2)由(1)得,A (B E) E
3 0
1210
0 0 . 2
211
30.(1991—Ⅴ)已知向量 (1,k,1)T是矩阵A 121 的逆矩阵A 1的特征向量,试求常数k的值.
112
【考点】特征值与特征向量的概念.
解 设 为对应于 的A 1的特征值,则A 1 A .解方程组得k 1或 2.
【注意】
(1)已知含参数的矩阵A的特征值,求参数时,方法是运用特征值的性质或特征多项式求解;
(2)已知含参数的矩阵A的特征向量,求参数时,方法是运用特征值与特征向量的定义,得线性方程组再解之. 31.(1992—Ⅰ,Ⅱ)设向量组 1, 2, 3线性相关,向量组 2, 3, 4线性无关,问: （1） 1能否由 2, 3线性表出?证明你的结论. （2） 4能否由 1, 2, 3线性表出?证明你的结论. 【考点】向量组线性相关的性质.
解 (1) 1能由 2, 3线性表出.事实上, 2, 3, 4线性无关,则 2, 3线性无关,又 1, 2, 3线性相关,所以 1
能由 2, 3线性表出.