111 0 111 0 r
( 1, 2, 3 ) 111 0 000 0 ,
111 0 000 0
R( 1, 2, 3) R( 1, 2, 3, ) 1 3, 可由 1, 2, 3线性表示,且表达式不惟一;
(3)当 3时,R( 1, 2, 3) 2 R( 1, 2, 3, ) 3, 不能由 1, 2, 3线性表示. 【注意】
(1)向量 可由 1, 2, , m线性表示 x1 1 x2 2 xm m 有解
( 1, 2, , m)x 有解 Ax 有解,其中A ( 1, 2, , m) R( 1, 2, , m) R( 1, 2, , m ).
(2)本题实质上等价为
(1 )x1 x2 x3 0
问 取何值时,线性方程组 x1 (1 )x2 x3 有惟一解,无解,有无穷多解.
2x x (1 )x 3 12
27.(1991—Ⅳ)考虑二次型
22
f x12 x2 x3 2 x1x2 2x1x3 4x2x3
问 取何值时,f为正定二次型?
【考点】判别二次型正定的霍尔维茨定理.
1
解 二次型的矩阵A 4
12 1 2 .则 4
1 1 0
1
4 2 0 2 1. f为正定二次型 2 4
A 4(1 )(2 ) 0 3
28.(1991—Ⅳ)试证明n维列向量 1, 2, , n线性无关的充分必要条件是
D
1T 1 1T 2 1T nTTT 2 1 2 2 2 n
TTT n 1 n 2 n n
0,
其中 iT表示列向量 i的转置,i 1,2, ,n.
【考点】线性无关的判别定理,分块矩阵的运算,矩阵的性质.