(1)当A (a 1)2 a 1时,方程组有惟一解;
(2)以下同方法一. 【注意】
(1)含有参数的线性方程组的解的讨论都是用方法一或方法二解决.但方法一具有普遍性,即这类问题都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用范围是: ①方程的个数等于未知数的个数; ②方程组的系数行列式含参数. (2)求解这类问题的关键点是先讨论方程组有惟一解的情形,再讨论无解或无穷多解.切记切记.
2.(1987—Ⅱ;1990—Ⅳ)设A为n阶矩阵, 1和 2是A的两个不同的特征值;x1,x2是分别属于 1和 2的特征
向量,试证明x1 x2不是A的特征向量.
【考点】特征值的定义,性质及向量组线性相(无)关的定义.
解 反证法:假设x1 x2是A的特征向量,则存在数 ,使得A(x1 x2) (x1 x2),则
( 1)x1 ( 2)x2 0.
1 0
1 2.矛盾. 因为 1 2,所以x1,x2线性无关,则
0 2
【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关.
423
3.(1987—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵A和B满足关系式AB A 2B,其中A 110 ,求矩阵B.
123
【考点】解矩阵方程.
解 由B A 2B B (A 2E) 1A
1 4 3 423 3 8 6
110 2 9 6 1 5 3 .
164 123 2129
4.(1987—Ⅳ,Ⅴ)解线性方程组
2x1 x2 4x3 3x4 4, x x x 3, 134
3x1 x2 x3 1, 7x1 7x3 3x4 3.
4 3 1 1 1
0 7 3
4
r 3 1 3
1000
01 00
100
0 1 0
3
8 . 6 0
【考点】求解非齐次线性方程组.
2 1 10
解 B (A|b)
31
70
2 0