x1 x3 3
由R(A) R(B) 3 4,得方程组有无穷多解.方程组的解 x2 2x3 8,令x3 k得方程组的通解
x 6 3
x1 3 1 x 8 2
2 k ,k为任意常数. x3 0 1 x6 0 4
3 12
5.(1987—Ⅳ,Ⅴ)求矩阵A 0 14 的实特征值及对应的特征向量.
101
【考点】求矩阵的特征值及特征向量.
) (2 4 解 A E (1
0
25)A的实特征值 1.解(A E)x 0得其对应的特征向量x k ,得 , 1
其中k为不为零的任意常数.
6.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知AP PB,其中
100 100
,P 2 10 B 000 ,
00 1 211
求A及A5.
【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂.
解 AP PB
A
0 10
1
PBP 200 .
6 1 1
A5 PB5P 1 PBP 1 A.
【注意】若A PBP 1,则Ak PBkP 1;一般地,设 (x) amxm a1x a0,则方阵A的多项式
(A) amAm a1A a0E P (B)P 1.
200 200
7.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知矩阵A 001 与B 0y0 相似:
01x 00 1
(1)求x与y;（2）求一个满足P 1AP B的可逆矩阵P.
【考点】相似矩阵的性质及一般矩阵的对角化方法. 解 (1)方法一:A与B相似,则A E B E,即