(1)方程组有解 R(A) R(B)
b 3a 0 a 1
;
2 2a 0 b 3
1 0r a 1
(2)当 时,B (A|b)
0 b 3
0
0 1 1 5 2 1226 3 ,方程组的解 0000 0
0000 0
x1 x3 x4 5x5 2
.
x2 2x3 2x4 6x5 3
x3 1 0 0
x x x 5x 1345
方程组的导出组的解 ,令 x4 0 , 1 , 0 ,得方程组的导出组的一个基础解系
x2 2x3 2x4 6x5
x5 0 0 1
1 1 5 2
2 2 6 3 x3 0 x 0
1 1 , 2 0 , 3 0 .令 4 ,得方程组的一个特解 0 .则方程组的通解
x0010 5 0 0 0 1 0 x k1 1 k2 2 k3 3,其中k1,k2,k3为任意常数.
21.(1990—Ⅳ) 已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak 0.试证明矩阵E A可逆,并写出其逆矩阵的
表达式(E为n阶单位阵). 【考点】抽象矩阵求逆.
kkk
证 E E A E A( E )A(E A
k1
,)所以E A可逆,且 A
(E A) 1 E A Ak 1.
22.(1990—Ⅴ)设A为10 10矩阵
0
0 A
010 1010 00
01 00
00 01 00 00
计算行列式A E,其中E为10阶单位矩阵, 为常数.
【考点】行列式的计算. 解 A E
按第一列展开
=
0 10 101.
23.(1990—Ⅴ)设方阵A满足条件ATA E,其中AT是A的转置矩阵, E为单位阵.试证明A的实特征向量
所对应的特征值的绝对值等于1.