方法二:显然B的特征值为 1,2,y;A有特征值 2.A与B相似,则A与B有相同的特征值,故y 2.又
( 1) 2 y ( 2) x 1 x 0
0 0 1 (2)A的对应于特征值 1,2, 2的特征向量分别为p1 2 ,p2 1 ,p3 0 ,令可逆矩阵 1 1 1
P (p1,p2,p3),则P 1AP B.
【注意】
( 1) 2 y ( 2) x 1
(1) 对(1)求解时,若由 ,得x,y有无穷多解,此时这种方法失效.
( 1) 2 y A 2(x 2)
(2) 在(1)的解法中,方法二非常简便,它综合运用了特征值的性质,避免了烦琐的计算.读者不觉得好好玩味一
下吗? 35.(1992—Ⅳ)已知三阶矩阵B O,且B的每一个列向量都是以下方程组的解:
x1 2x2 2x3 0,
2x1 x2 x3 0, 3x x x 0. 123
(1)求 的值; (2)证明B 0.
【考点】线性方程组解的理论的应用.
解 (1)由题意知,齐次线性方程组有非零解,则方程组的系数行列式
1
21
2
A 2 1
3
5( 1) 0 1.
1
(2)由题意,得AB 0.若B 0 A 0,矛盾,所以B 0.
或 由AB 0 R(A) R(B) 3;又A 0 R(A) 1,则R(B) 3 B 0. 【注意】
(1) 若Am sBs n 0,则有下面两个常用的结论:①R(A) R(B) s.②若B O,则齐次线性方程组Am sx 0
有非零解.
(2)An n 0 R(A) n,即非奇异矩阵就是降秩矩阵.
AO
36.(1992—Ⅳ)设A,B分别为m,n阶正定矩阵,试判定分块矩阵C 是否是正定矩阵. OB
【考点】正定矩阵的判别定理.
解 方法一:用定义证明. 0,不妨设x 0,则xTAx 0,yTBy 0,故
x
y