【考点】特征值与特征向量的概念.
证 设A的实特征向量x 0所对应的特征值为 ,则Ax x.又
(Ax)T(Ax) ( x)T( x) xTx 2xTx 1 2 1.(xTx x 0)
【注】注意本题的A是正交矩阵,由此有如下结论:实对称正交矩阵的特征值必为 1. 24.(1991—Ⅰ,Ⅱ)已知
1 (1,0,2,3), 2 (1,1,3,5), 3 (1, 1,a 2,1), 4 (1,2,4,a 8)及 (1,1,b 3,5).
（1）a,b为何值时, 不能表示成 1, 2, 3, 4的线性组合?
（2）a,b为何值时, 有 1, 2, 3, 4的唯一的线性表示式?并写出该表示式. 【考点】含有参数的向量可由向量组线性表示的讨论.
解 可由 1, 2, 3, 4线性表示 线性方程组x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 有解.
1 0
TTTTT 1, 2, 3, 4 2
3
1 0r 0 0
1
1
1
1 12 1 3a 24 b 3
51a 8 5
1
1
11
1 1 12 1 . 0a 10 b
00a 1 0
(1)当a 1,b 0时,线性方程组无解, 不能由 1, 2, 3, 4线性表示; (2)当a 1时,线性方程组有惟一解, 可由 1, 2, 3, 4惟一地线性表示.此时
1 r 0TTTTT
1, 2, 3, 4 0 0 2b a 1
a b 1
100
a 1 ,
b
010
a 1
001 0 000
则x1
2ba b 1b
,x2 ,x3 ,x4 0,所以 a 1a 1a 1
2ba b 1b 1 2 3 0 4.
a 1a 1a 1
25.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设A是n阶正定矩阵,E是n阶单位矩阵,证明A E的行列式大于1.
【考点】正定矩阵的性质,特征值的性质,实对称矩阵的对角化理论.
证 方法一:A为n阶正定矩阵,则A的特征值 1 0, 2 0, , n 0.而A E的特征值分别为