1 100 2 01 10 0
,C B
001 1 0 0001 0134
213 , 021
002
且矩阵A满足关系式
A(E C 1B)TCT E,
其中E为四阶单位矩阵,C 1表示C的逆矩阵,CT表示C的转置矩阵,将上述关系式化简并求矩阵A.
【考点】解矩阵方程及矩阵的运算.
1T
解 A(E CB)
T
C
E [A 1C( C)TB]
T
C E
1
(A CT)B(
T
C)
T
C E
A(C B)T(CC 1)T E A(C B)T E 0 10
110T 1
A [(C B)]
1 21
01 2
0 0 . 0 1
【注意】在解矩阵方程时,如果矩阵方程中含有已知矩阵A的逆矩阵A 1或伴随矩阵A*,利用
AA 1 A 1A E或AA* A*A E
化掉A 1或A*.
19.(1990—Ⅰ,Ⅱ)求一个正交变换化二次型
22
f x12 4x2 4x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3
成标准形.
【考点】利用正交变换化二次型为标准形的方法.
1 22
解 (1)写出二次型的矩阵:A 24 4 .
2 44
2
(2)求A的特征值:A E (9 ) A的特征值为 1,2 0, 3 9.
(3)求A的两两正交且单位化的特征向量:对应于特征值 1,2 0的线性无关的特征向量为
2 2 2 2
1 0 1 4 1 1 p ,,正交化得,,
单位化得2121 5
0 1 0 5
,p 2 . 0