数字信号处理 答案
令n=n′+lN, l=0, 1, …, m－1, n′=0, 1, …, N－1, 则
H(k)=∑∑x((n′+lN))Ne
l=0n′=0
m 1N 1
j
2π(n′+lN)
rN
2π2πr 1 2πlk n′k jlk N 1k
=∑ ∑x(n′)emN em=X ∑em l=0 n′=0 r l=0
k 因为
m=整数m 1 j2π m ∑em=
kl=0
0≠整数 m
m 1
所以
k k mX整数 m m X(k)=
k 0 ≠整数
m
7. 证明: (1) 由教材(3.2.17)~(3.2.20)式知道， 如果将x(n)表
示为
x(n)=xr(n)+jxi(n) 则
X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)
其中， Xep(k)=DFT［xr(n)］， 是X(k)的共轭对称分量； Xop(k)=DFT［jxi(n)］, 是X(k)的共轭反对称分量。 所以， 如果x(n)为实序列， 则Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0， 故X(k)= DFT［x(n)］=Xep(k)， 即X(k)=X*(N－k)。
（2） 由DFT的共轭对称性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n)
且
X(k)=Re［X(k)］+j Im［X(k)］ 则
Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j Im［X(k)］=DFT［xop(n)］
所以， 当x(n)=x(N－n)时， 等价于上式中xop(n)=0, x(n)中只有xep(n)成分， 所以X(k)只有实部， 即X(k)为实函数。 又由（1）证明结果知道， 实序列的DFT必然为共轭对称函数， 即X(k)=X*(N－k)=X(N－k)， 所以X(k)实偶对称。
同理， 当x(n)=－x(N－n)时， 等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0）， 故X(k)只有纯虚部， 且由于x(n)为实序列， 即X(k)共轭对称， X(k)=X*(N－