则 n>N,有|xn 0|<ε.
当ε=0.001时,N=1=1000.
3.根据数列极限的定义证明:(1)lim12=0;n→∞n
分析要使|12 0|=12ε,只须n2>1,即n>1.
εnn证明因为 ε>0, N=[1,当n>N时,有|1 0|<ε,所以lim1=0.
n→∞nn(2)lim3n+1=3;n→∞2n+12
分析要使|3n+1 3|=1<1<ε,只须1<ε,即n>1.
2n+122(2n+1)4n证明因为 ε>0, N=[1,当n>N时,有|3n+1 3|<ε,所以lim3n+1=3.
n→∞2n+12(3)lim
n→∞
+a1;
22+a22+a2 n22aa分析要使| 1|==<<ε,只须n>.
22εnnn(n+a+n)n222
证明因为 ε>0, N=a,当 n>N时,有|+a 1|<ε,所以
εn→∞
lim
2+a2=1.
(4)lim0.999 9=1.n→∞14243
n个
1<ε,只须1<ε,即n>1+lg1.
1010 1
证明因为 ε>0, N=[1+lg1,当 n>N时,有|0.99 9 1|<ε,所以
lim0.999 9=1.n→∞14243
分析要使|0.99 9 1|=
n个
4.limun=a,证明lim|un|=|a|.并举例说明:如果数列{|xn|}有极限,但数列
n→∞
n→∞
{xn}未必有极限.