x→∞x→+∞x→ ∞
ε>0, X>0,使当|x|>X时,有恒|f(x)|>M.
解
f(x)→A ε>0, δ>0,使
x→x0当0<|x x0|<δ时,
有恒|f(x) A|<ε. ε>0, δ>0,使
x→x0+当0<x x0<δ时,
有恒|f(x) A|<ε. ε>0, δ>0,使
x→x0 当0<x0 x<δ时,
有恒|f(x) A|<ε. ε>0, X>0,使
x→∞当|x|>X时,有恒
|f(x) A|<ε.
ε>0, X>0,使
x→+∞当x>X时,有恒
|f(x) A|<ε.
ε>0, X>0,使
x→ ∞当x< X时,有恒
|f(x) A|<ε.f(x)→∞ M>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有恒|f(x)|>M. M>0, δ>0,使当0<x x0<δ时,有恒|f(x)|>M. M>0, δ>0,使当0<x0 x<δ时,有恒|f(x)|>M. ε>0, X>0,使当|x|>X时,有恒|f(x)|>M.
ε>0, X>0,使当x>X时,有恒|f(x)|>M.
ε>0, X>0,使当x< X时,有恒|f(x)|>M.f(x)→+∞ M>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有恒f(x)>M. M>0, δ>0,使当0<x x0<δ时,有恒f(x)>M. M>0, δ>0,使当0<x0 x<δ时,有恒f(x)>M. ε>0, X>0,使当|x|>X时,有恒f(x)>M.
ε>0, X>0,使当x>X时,有恒f(x)>M.
ε>0, X>0,使当x< X时,有恒f(x)>M.f(x)→ ∞ M>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有恒f(x)< M. M>0, δ>0,使当0<x x0<δ时,有恒f(x)< M. M>0, δ>0,使当0<x0 x<δ时,有恒f(x)< M. ε>0, X>0,使当|x|>X时,有恒f(x)< M.
ε>0, X>0,使当x>X时,有恒f(x)< M.
ε>0, X>0,使当x< X时,有恒f(x)< M.
6.函数y=xcosx在( ∞,+∞)内是否有界？这个函数是否为当x→+∞时的无穷大？为什么？
解函数y=xcosx在( ∞,+∞)内无界.
这是因为 M>0,在( ∞,+∞)内总能找到这样的x,使得|y(x)|>M.例如
y(2kπ)=2kπcos2kπ=2kπ(k=0,1,2, ),
当k充分大时,就有|y(2kπ)|>M.
当x→+∞时,函数y=xcosx不是无穷大.
这是因为 M>0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有|y(x)|>M.例如
y(2kπ+π=(2kπ+π)cos(2kπ+π=0(k=0,1,2, ),
222
对任何大的N,当k充分大时,总有x=2kπ+π>N,但|y(x)|=0<M.