素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.
又因为对于任意的x1≠x2,必有f(x1)≠f(x2),否则若f(x1)=f(x2) g[f(x1)]=g[f(x2)] x1=x2.
因此f既是单射,又是满射,即f是双射.
对于映射g:Y→X,因为对每个y∈Y,有g(y)=x∈X,且满足f(x)=f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.
5.设映射f:X→Y,A X.证明:(1)f 1(f(A)) A;
(2)当f是单射时,有f 1(f(A))=A.
证明(1)因为x∈A f(x)=y∈f(A) f 1(y)=x∈f 1(f(A)),所以f 1(f(A)) A.
(2)由(1)知f 1(f(A)) A.
另一方面,对于任意的x∈f 1(f(A)) 存在y∈f(A),使f 1(y)=x f(x)=y.因为y∈f(A)且f是单射,所以x∈A.这就证明了f 1(f(A)) A.因此f 1(f(A))=A.
6.求下列函数的自然定义域:
(1)y=;
解由3x+2≥0得x> 2.函数的定义域为[ 2, +∞).
33
(2)y=12;
1 x
解由1 x2≠0得x≠±1.函数的定义域为( ∞, 1)∪( 1,1)∪(1,+∞).(3)y=1 x2;
解由x≠0且1 x2≥0得函数的定义域D=[ 1,0)∪(0,1].(4)y=
1; x2
解由4 x2>0得|x|<2.函数的定义域为( 2,2).(5)y=sin;
解由x≥0得函数的定义D=[0,+∞).
(6)y=tan(x+1);
解由x+1≠π(k=0,±1,±2, )得函数的定义域为x≠kπ+π 1 (k=0,±1,±2,
2