3
所以lim1 4x=2.
x→ 2x+1
2.根据函数极限的定义证明:
3;(1)lim=x→∞2x2分析因为
3 =33=,2x322x32|x|3
3
<ε,只须1<ε,即|x|>1.所以要使2x322|x|证明因为 ε>0, X=1,当|x|>X时,有
3<ε,2x32311+x所以lim=.
x→∞2x32(2)limsinx=0.x→+∞分析因为
sinx 0=|sinx|1.所以要使sinx 0<ε,只须1<ε,即x>12.
ε
证明因为 ε>0, X=1,当x>X时,有
ε
sinx 0<ε,所以limsinx=0.
x→+∞3.当x→2时,y=x2→4.问δ等于多少,使当|x 2|<δ时,|y 4|<0.001？解由于当x→2时,|x 2|→0,故可设|x 2|<1,即1<x<3.要使
|x2 4|=|x+2||x 2|<5|x 2|<0.001,
只要|x 2|<0.001=0.0002.
取δ=0.0002,则当0<|x 2|<δ时,就有|x2 4|<0.001.