证明因为limun=a,所以 ε>0, N∈N,当n>N时,有|un a|<ε,从而
n→∞
||un| |a||≤|un a|<ε.
这就证明了lim|un|=|a|.
n→∞
数列{|xn|}有极限,但数列{xn}未必有极限.例如lim|( 1)n|=1,但lim( 1)n不
n→∞
n→∞
存在.
5.设数列{xn}有界,又limyn=0,证明:limxnyn=0.
n→∞
n→∞
证明因为数列{xn}有界,所以存在M,使 n∈Z,有|xn|≤M.
又limyn=0,所以 ε>0, N∈N,当n>N时,有|yn|<ε.从而当n>N时,有n→∞|xnyn 0|=|xnyn|≤M|yn|<M ε=ε,
所以limxnyn=0.
n→∞
6.对于数列{xn},若x2k 1→a(k→∞),x2k→a(k→∞),证明:xn→a(n→∞).
证明因为x2k 1→a(k→∞),x2k→a(k→∞),所以 ε>0, K1,当2k 1>2K1 1时,有|x2k 1 a|<ε; K2,当2k>2K2时,有|x2k a|<ε.
取N=max{2K1 1,2K2},只要n>N,就有|xn a|<ε.因此xn→a(n→∞).
习题1 3
1.根据函数极限的定义证明:
(1)lim(3x 1)=8;
x→3
分析因为
|(3x 1) 8|=|3x 9|=3|x 3|,
所以要使|(3x 1) 8|<ε,只须|x 3|<1ε.
3
证明因为 ε>0, δ=1ε,当0<|x 3|<δ时,有
3
|(3x 1) 8|<ε,