X1>0,使当x< X1时,有|f(x) A|<ε; X2>0,使当x>X2时,有|f(x) A|<ε.
取X=max{X1,X2},则当|x|>X时,有|f(x) A|<ε,即limf(x)=A.
x→∞
8.根据极限的定义证明:函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明先证明必要性.设f(x)→A(x→x0),则 ε>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有|f(x) A|<ε.
因此当x0 δ<x<x0和x0<x<x0+δ时都有|f(x) A|<ε.
这说明f(x)当x→x0时左右极限都存在并且都等于A.
再证明充分性.设f(x0 0)=f(x0+0)=A,则 ε>0,
δ1>0,使当x0 δ1<x<x0时,有|f(x) A<ε; δ2>0,使当x0<x<x0+δ2时,有|f(x) A|<ε.
取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x x0|<δ时,有x0 δ1<x<x0及x0<x<x0+δ2,从而有|f(x) A|<ε,
即f(x)→A(x→x0).
9.试给出x→∞时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.
解x→∞时函数极限的局部有界性的定理:如果f(x)当x→∞时的极限存在,则存在X>0及M>0,使当|x|>X时,|f(x)|<M.
证明设f(x)→A(x→∞),则对于ε=1, X>0,当|x|>X时,有|f(x) A|<ε=1.所以|f(x)|=|f(x) A+A|≤|f(x) A|+|A|<1+|A|.
这就是说存在X>0及M>0,使当|x|>X时,|f(x)|<M,其中M=1+|A|.习题1 4
1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.
例如,当x→0时,α(x)=2x,β(x)=3x都是无穷小,但limα(x)=2,α(x)不是无
x→0β(x)3β(x)穷小.
2.根据定义证明:
2x(1)y= 9当x→3时为无穷小;x+3
(2)y=xsin1当x→0时为无穷小.
2
证明(1)当x≠3时|y|==|x 3|.因为 ε>0, δ=ε,当0<|x 3|<δ时,有
x+3
2=|x 3|<δ=ε,|y|=
x+3