4.当x→∞时,y=x2 1→1,问X等于多少,使当|x|>X时,|y 1|<0.01?
x+3
2x解要使 1 1=4<0.01,只要|x|>4 3=,故X=.
0.01x+3x+3
2
5.证明函数f(x)=|x|当x→0时极限为零.
证明因为
|f(x) 0|=||x| 0|=|x|=|x 0|,
所以要使|f(x) 0|<ε,只须|x|<ε.
因为对 ε>0, δ=ε,使当0<|x 0|<δ,时有
|f(x) 0|=||x| 0|<ε,所以lim|x|=0.
x→0
|x|
6.求f(x)=x, (x)=当x→0时的左﹑右极限,并说明它们在x→0时的极
x限是否存在.
证明因为
lim f(x)=lim x=lim 1=1,x→0x→0x→0
lim+f(x)=lim+x=lim+1=1,x→0x→0xx→0
x→0
limf(x)=lim+f(x),
x→0
所以极限limf(x)存在.
x→0
因为
|x|
=lim x= 1,
x→0x→0xx→0x
|x|
lim+ (x)=lim+=lim+x=1,x→0x→0xx→0xlim (x)=lim
x→0
lim (x)≠lim+ (x),
x→0
所以极限lim (x)不存在.
x→0
7.证明:若x→+∞及x→ ∞时,函数f(x)的极限都存在且都等于A,则
x→∞
limf(x)=A.
证明因为limf(x)=A,limf(x)=A,所以 ε>0,
x→ ∞
x→+∞