2所以当x→3时y=为无穷小.x+3
(2)当x≠0时|y|=|x||sin1|≤|x 0|.因为 ε>0, δ=ε,当0<|x 0|<δ时,有
|y|=|x||sin1≤|x 0|<δ=ε,
x
所以当x→0时y=xsin1为无穷小.
3.根据定义证明:函数y=1+2x为当x→0时的无穷大.问x应满足什么条件,
x
能使|y|>104？
证明分析|y|=1+2x=2+1≥1 2,要使|y|>M,只须1 2>M,即
xx|x||x||x|<
1.
M+2
证明因为 M>0, δ=
1,使当0<|x 0|<δ时,有1+2x>M,所以当x→0时,函数y=1+2x是无穷大.
1.当0<|x 0|<1时,|y|>104.取M=104,则δ=10+2104+2
4.求下列极限并说明理由:
2x+1;(1)limx→∞2(2)lim.x→01 x
解(1)因为2x+1=2+1,而当x→∞时1是无穷小,所以lim2x+1=2.
x→∞22
(2)因为=1+x(x≠1),而当x→0时x为无穷小,所以lim=1.
x→01 x1 x
5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:
x→x0x→x0+x→x0
f(x)→A ε>0, δ>0,使当0<|x x0|<δ时,有恒|f(x) A|<ε.
f(x)→∞f(x)→+∞f(x)→ ∞