中考百分百——备战2011中考专题
(数学综合题专题)
一、知识网络梳理
数学综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以数学综合题的形式出现．解数学综合题一般可分为认真审题、理解题意，探求解题思路，正确解答三个步骤．解数学综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解数学综合题的灵魂，要善于总结解数学综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等，要结合实际问题加以领会与掌握，这是学习解综合题的关键．
题型1?方程型综合题
这类题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．
题型2?函数型综合题 函数型综合题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何方程与函数相结合型综合问题，历来是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象及性质、方程的有关理论的综合．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．
函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此是各地中考的热点题型，压轴题的主要来源，并且长盛不衰，年年有新花样．
题型3?几何型综合题
几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．
1． 几何型综合题，常用相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．
2． 几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧的长度的计算，角、角的三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．
3． 几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4． 解几何综合题应注意以下几点：
（1） 注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系．
（2） 注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化． （3） 注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线添法． （4） 注意灵活地运用数学的思想和方法．
解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的．
二、知识运用举例
例1已知关x的一元二次方程 x2?3x?m?0有实数根． （1）求m的取值范围
2?11求m的值． （2）若两实数根分别为x1和x2，且x12?x2分析与解答 本题目主要综合考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用以
及代数式的恒等变形等．
9（1）由题意，△≥0，即9?4m≥0．解得m??．
42x2?x1(?x2（2）由根与系数的关系，得x1?x2??3,x1x2??m．∴x12?2?)xx2??9m212．∴
9?2m1?．∴m?1．
例2已知关于x的方程(a?2)x2?2ax?a?0有两个不相等的实数根x1和x2，并且抛物线
y?x2?(2a?1)x?2a?5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁．
（1） 求实数a的取值范围．
（2） 当x1?x2?22时，求a的值．
分析与解答 本例以一元二次方程为背影，综合考查一元二次方程桶的判别式、桶与系
数关系、分式方程的解法以及二次函数的有性质等．
（1）一方面，关于x的方程(a?2)x2?2ax?a?0有两个不相等的实数根，∴△＝
(?2a)2?4a(a?2)?0且a?2?0．解之，得a?0且a?-2．另一方面，抛物线
y?x2?(2a?1)x?2a?5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，且开口向上，∴当x?2a?5?0，解得a??时y?0，即4?2(2a?1)?23??a?0 23．综合以上两面，a的取值范围是2 （2）∵x1、x2是关于x的方程(a?2)x2?2ax?a?0的两个不相等的实数根，∴
x1?x2?32aaa?0，,x1x2??0．．∵??a∴a?2?0，∴x1x2?∵2a?2a?2a?2，∴
22x12?2x1x2?x2?8，即∴x12?2x1x2?x2?8，∴
x1?x2?82a24a2()??8，∴解得a1??4,a2?1．经检验，a1??4,a2?1(x1?x2)?4x1x．?82a?2a?22a24a3)??8的根．∵a??4??舍去，∴a??1． 都是方程(a?2a?22说明 运用一元二次方程根的差别式时，要注意二次项系
数不为零，运用一元二次方程根与系数的关系时，要注意根存在的前提，即要保证△≥0．
例3 如图2－4－18，?B?90，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．若
0CDAEO图2-4-18B
AD＝23，且AB、AE的长是关于x的方程x?8x?k?0的两个实数根．
（1）求⊙O的半径．（2）求CD的长．
分析与解答 本题是一道方程与几何相结合的造型题，综合考查了切割线定理、根与系数的关系、一元二次方程的解法、勾股定理知识．
2（1）∵AD是⊙O的切线，∴AD?AE?AB．又AD?23，∴AEgAB?12．∵
22AE、AB的长是方程x?8x?k?0的两个实数根，∴AEgAB?k，∴k?12，把k?12代
入方程x?8x?k?0，解得x1?2,x2?6．∴AE＝2，AB＝6．
∴⊙O的半径为
21(AB?AE)?2 2（2）∵CB⊥AB，AB经过圆心O，∴CB切⊙O于点B，∴CD＝CB．在Rt△ABC中，
2222设CD?x，由勾股定理得AB?BC?AC，∴62?x解得x?23．∴?(23?)x2，
CD?23．
例4．（2007四川绵阳）已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）＝（p－2）（p－m）的两个实数根． （1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
解：（1） 原方程变为：x2－（m ＋ 2）x ＋ 2m ＝ p2－（m ＋ 2）p ＋ 2m，
∴ x2－p2－（m ＋ 2）x ＋（m ＋ 2）p ＝ 0， （x－p）（x ＋ p）－（m ＋ 2）（x－p）＝ 0， 即 （x－p）（x ＋ p－m－2）＝ 0， ∴ x1 ＝ p， x2 ＝ m ＋ 2－p． （2）∵ 直角三角形的面积为
1111x1x2?p(m?2?p)＝?p2?(m?2)p 222212m?22(m?2)2)?()] ＝?[p?(m?2)p?(2241m?22(m?2)2)?＝?(p?，
228∴ 当p?m?2且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，2
(m?2)212最大面积为或p．
28例5．（07茂名市）已知函数y?x2?2x?c的图象与x轴的两交点的横坐标分别是x1，x2，且x12?x22?c2?2c，求c及x1，x2的值．
解：令y?0，即x2?2x?c?0，当方程有两个不相等的实数根时，该函数的图象与x轴有两个交点．
此时22?4c?0即c?1． 由已知??x1?x2??2 ，
?x1x2?c2相关链接 ：
若x1，x2是一元二次方程
∵ x12?x22?c2?2c， ∴ ∴
?x1?x2??2x1x2?c2?2c，
2??2??2c?c2?2c ，
ax2?bx?c?0(a?0)的两根，则
bcx1?x2??，x1x2?．
aa∴ c2?4， ∴c1??2,c2?2(舍去)．
当c??2时，x2?2x?2?0， 解得x1??1?3,x2??1?3． 综上：c??2，x1??1?3,x2??1?3为所求．
例6（07天津市） 已知关于x的一元二次方程x?bx?c?x有两个实数根x1,x2，且满足
2x1?0，x2?x1?1．
（1）试证明c?0； （2）证明b?2(b?2c)；
（3）对于二次函数y?x2?bx?c，若自变量取值为x0，其对应的函数值为y0，则当0?x0?x1时，试比较y0与x1的大小．
解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式 即x?(b?1)x?c?0 ∵ x1,x2是该方程的两个实数根 ∴ x1?x2??(b?1)，x1?x2?c 而x1?0,x2?x1?1?0 ∴ c?0 （2）(x2?x1)?(x2?x1)?4x1x2
2222
?(b?1)2?4c?b2?2b?4c?1
∵ x2?x1?1 ∴ (x2?x1)2?1 于是b?2b?4c?1?1，即b?2b?4c?0 ∴ b2?2(b?2c)
（3）当0?x0?x1时，有y0?x1
2∵ y0?x0?bx0?c，x12?bx1?c?x1 2∴ y0?x1?x0?bx0?c?(x12?bx1?c)
22?(x0?x1)(x0?x1?b)
∵ 0?x0?x1 ∴ x0?x1?0
又∵ x2?x1?1 ∴ x2?x1?1，x1?x2?2x1?1 ∵ x1?x2??(b?1) ∴ ?(b?1)?2x1?1
于是2x1?b?0 ∵ 0?x0?x1 ∴ x0?x1?b?0 由于x0?x1?0，x0?x1?b?0
∴ (x0?x1)(x0?x1?b)?0，即y0?x1?0 ∴ 当0?x0?x1时，有y0?x1
例7如图2－4－20，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标．（2）求一次函数的解析式．（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的x的取值范围．
分析与解答 （1）由图2－4－20可得C（0，3）．
∵抛物线是轴对称图形，且抛物线与x轴的两个交点为A（－3，0）、B（1，0）， ∴抛物线的对称轴为x??1，D点的坐标为（－2，3）．
（2）设一次函数的解析式为y?kx?b，将点D（－2，3）、B（1，0）代入解析式，可得
??2k?b?3，解得k??1,b?1． ?k?b?0?∴一次函数的解析式为y??x?1．
yMDCBAONx（3）当x??2或x?1时，一次函数的值大于二次函数的值． 说明：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次
图2-4-21