函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想的运用等．
例8如图2－4－21，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式． （2）求△MCB的面积．
分析与解答 第（1）问，已知抛物线上三个点的坐标，利用待定系数法可求出其解析式．第（20问，△MCB不是一个特殊三角形，我们可利用面积分割的方法转化成特殊的面积求解．
?a?b?c?0?a??1??（1）设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c，根据题意，得?c?5，解之，得?b?4．
?c?5?a?b?c?8??∴所求抛物线的解析式为y??x2?4x?5．
50?，（2）∵C点的坐标为（0，5）．∴OC＝5．令y?0，则?x2?4x?解得x1??1,x2?5．∴
B点坐标为（5，0）．∴OB＝5．∵y??x2?4x?5??(x?2)2?9，∴顶点M坐标为（2，9）．过
点M用MN⊥AB于点N，则ON＝2，MN＝9．
11S?S?S?S?(5?9)?9?(5?2)??5?5?15 ∴?MCB?BNM?OBC梯形OCMN22说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象
与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点．解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解．
B(x2,0)，例9已知抛物线y??x2?(m?4)x?2m?4与x轴交于A(x1,0)、与y轴交于点C，
且x1、x2满足条件x1?x2,x1?2x2?0
（1）求抛物线的解析式；
（2）能否找到直线y?kx?b与抛物线交于P、Q两点，使y轴恰好平分△CPQ的面积？求出k、b所满足的条件．
分析与解答 （1）∵△＝(m?4)2?4(2m?4)?m2?32?0，∴对一切实数m，抛物线与x轴恒有两个交点，由根与系数的关系得x1?x2?m?4?①，x1x2??(2m?4)?②．由已知
有
x1?2x2?0?③．③－①，得
?m)?．
x2?4?m,x1??2x2?2m?8.由②得
0解
(m2?m1?28?)m(4?,m2当?化简，得m2?9m??14．得
7时m.1?2x1?,?x1?x24?,m2?7时，2x1?6,x2??3，不满足，满足．当
x1?x2，∴抛物线的解析式为y??x2?2x?8．
（2）如图2－4－22，设存在直线y?kx?b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积，设点P的横坐标为xQ，直线与y轴交于点E．
∵
11S?PCE?S?QCE??CE?xP??CE?xQ22，∴
yCPEOQ图2-4-21xxP?xQ，由y轴平分△CPQ的面积得点P、Q在y轴的
?y?kx?b两侧，即xP??xQ，∴xP?xQ?0，由?得2y??x?2x?8?x2?(k?2)x?b?8?0．又∵xP、xQ是方程
xP?xQ??(k?2)?0，∴的两根，∴x2?(k?2)x?b?8?0k??2．又直线与抛物线有两个交点，∴当k??2且b?8时，直线y?kx?b与抛物线的交点
P、Q，使y轴能平分△CPQ的面积．故y??2x?b(b?8)．
说明 本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线．解
题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化．例如：二次函数与x轴有交点．可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解．点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等．
例10已知：如图2－4－23，抛物线y?ax2?bx?c经过原点（0，0）和A（－1，5）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C．以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交于点为E，连结MD．已知点E的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积．（用含m的代数式表示）
（3）延长DM交⊙M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得
S四边形EOMD?S?DON？请求出此时点P的坐标．
yPOAEMDNx图2-4-21分析与解答 （1）∵抛物线过O(0，0)、A（1，－3）、B（－1，5）三点，
?c=0?a?1??∴?a+b+c=-3，解得?b??4，∴抛物线的解析式为y?x2?4x．
?c?0?a-b+c=5??（2）抛物线y?x?4x与x轴的另一个交点坐标为C（4，0），连结EM．∴⊙M的半径是2，即OM＝DM＝2．∵ED、EO都是的切线，∴EO＝ED．∴△EOM≌△EDM．∴
21S四边形EOMD?2S?OME?2?OM?OE?2m
2（3）设D点的坐标为（x0，y0），则S四边形EOMD?2S?OME?2?1OM?y0?2y0．当2S四边形EOMD?S?DON时，即2m?2y0，m?y0，故ED∥x轴，又∵ED为切线，∴D点的
坐标为（2，3），∵点P在直线ED上，故设点P的坐标为（x，2），又P在抛物线上，∴2?x?4x．∴x1?2?6,x2?2?6．∴P(2?6,2)或P(2?6,2)为所求
例11（07上海市）如图9，在直角坐标平面内，函数y?2m（x?0，m是常数）的图象x经过A(1，4)，B(a，b)，其中a?1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，
y 垂足为D，连结AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标； （2）求证：DC∥AB； A （3）当AD?BC时，求直线AB的函数解析式． B D m，4)， （1） 解：?函数y?(x?0，m是常数）图象经过A(1xO C x ?m?4．
图9 4?4???
设BD，AC交于点E，据题意，可得B点的坐标为?a，?，D点的坐标为?0，?，
?a??a?
?4?E点的坐标为?1，?，
?a??a?1，?DB?a，AE?4?由△ABD的面积为4，即
4． a1?4?a?4???4， 2?a???4?3?得a?3，?点B的坐标为?3，?．
（2）证明：据题意，点C的坐标为(1，0)，DE?1，
?a?1，易得EC?4，BE?a?1， a44?BEa?1AEa?a?1． ???a?1，?4DE1CEaBEAE??． DECE?DC∥AB．
（3）解：?DC∥AB，?当AD?BC时，有两种情况： ①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，
BEAE??a?1，?a?1?1，得a?2． 由（2）得，
DECE
?点B的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数解析式为y?kx?b，把点A，B的坐标代入，
得??4?k?b，?k??2，解得?
?b?6.?2?2k?b?直线AB的函数解析式是y??2x?6．
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，
则BD?AC，?a?4，?点B的坐标是（4，1）．
设直线AB的函数解析式为y?kx?b，把点A，B的坐标代入，
?4?k?b，?k??1，得?解得?
1?4k?b.b?5???直线AB的函数解析式是y??x?5．
综上所述，所求直线AB的函数解析式是y??2x?6或y??x?5．
例12．如图10，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x y ? ? －3 5－ 2－2 －4 1 5－ 22 0 ? ? （1） 求A、B、C三点的坐标；
（2） 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
（3） 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围．
若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述（2）、（3）小题换为下列问题解答(已知条件及第（1）小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：
（2） 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积． 解：⑴ 解法一：设y=ax2+bx+c(a 0)，
1任取x，y的三组值代入，求出解析式y=x2+x-4，
2令y＝0，求出x1=-4,x2=2；令x＝0，得y＝－4，
∴ A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4) ．
图10
55)，(－3，-)可知， 22抛物线P的对称轴方程为x＝－1， 又∵ 抛物线P过(2，0)、(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知， 点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4) ．
ADDG⑵ 由题意，，而AO＝2，OC＝4，AD＝2－m，故DG＝4－2m， =AOOCBEEF又 ，EF＝DG，得BE＝4－2m，∴ DE＝3m， =BOOC∴SDEFG＝DG·DE＝(4－2m) 3m＝12m－6m2 (0＜m＜2) ． 解法二：由抛物线P过点(1，－
⑶ ∵SDEFG＝12m－6m2 (0＜m＜2)，∴m＝1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 ． 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)，
2222设直线DF的解析式为y＝kx＋b，易知，k＝，b＝－，∴y=x-，
33331又可求得抛物线P的解析式为：y=x2+x-4，
2-1 61221令x-＝x2+x-4，可求出x＝. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横
3332-1-61坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有
3-5+61FNHE3＝＝， =93DFDE点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是 -5+61k≠且k＞0．
9若选择另一问题：
ADDG⑵ ∵，而AD＝1，AO＝2，OC＝4，则DG＝2， =AOOCFGCP又∵， 而AB＝6，CP＝2，OC＝4，则FG＝3， =ABOC∴SDEFG＝DG·FG＝6．
-2--1-61
例13．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； A （2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上， 设CD，BE相交于点O，若?A?60°，?DCB??EBC?请你写出图中一个与?A相等的角，并猜想图中哪个四边形 是等对边四边形；
1?A． 2B D E
O C
（3）在△ABC中，如果?A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且
?DCB??EBC?1?A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明2