骤．)
上底面、下底面、截面的相似比为S1:S2:S.
设PO2＝h，O1O2＝x， 则S1S＝PO2
＝PO
hm
h＋x·m＋n
＝h(m＋n)
，
h(m＋n)＋mx
S2S＝
PO1＝PO
h＋x(h＋x)(m＋n)
＝. mh(m＋n)＋mx
h＋x·m＋n＝nh(m＋n)m(h＋x)(m＋n)(hn＋hm＋mx)(m＋n)
＋＝＝m＋n，
h(m＋n)＋mxh(m＋n)＋mxh(m＋n)＋mx
∴nS1S＋
mS2S即S＝mS2＋nS1
.
m＋n
mS1＋mS2S1＋S2
＝.
m＋m2
当m＝n时，则S＝
评析：由于棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体，台体中一些几何量的计算不是很容易时就可以把台体还原为锥体，利用锥体的一些性质解决台体问题，如利用平行于锥体底面的平面截锥体，则截面面积和底面面积的比等于被截得的小锥体的高和原锥体的高的比的平方，截得的小锥体的体积和原来锥体的体积的比等于被截得的小锥体的高和原来锥体高的比的立方等．
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点．求这三个球的半径之比．
解：设正方体的棱长为a，球的半径分别为R1，R2，R3.球内切于正方体时，球的直径a
和正方体的棱长相等，如图1所示，AB＝2R1＝a，所以R1＝；
2
球与这个正方体的各条棱相切时，球的直径与正方体的面对角线长相等，如图2所示，CD＝2R2＝2a，所以R2＝2a； 2
当球过这个正方体的各个顶点时，也即正方体内接于球，此时正方体的八个顶点均在球面上，则正方体的体对角线长等于球的直径，如图3所示，EF＝2R3＝3a，
所以R3＝
3a. 2
故三个球的半径之比为1:2:3.
第四十四讲 空间几何体的表面积与体积
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( )
A.1:2 B.1:3 C.1:4
D.1:5
解析:设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a,b,c,则棱锥的体积V1=
13×
12abc=
16abc.长方体的体积V=abc,剩下的几何体的体积为V2=abc-
16abc?56abc,
所以V1:V2=1:5,故选D.
答案:D
2.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE?△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( )
A.C.2343B.D.33 32解析:如图,将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥. 在梯形ABFE中,易知BN=
32,
∴S△BCN=
12BC·HN=
12×1×22?24.
故该几何体体积为
24×1+2×?3124?12?23,选A.
答案:A
3.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( )
A.4?C.3?22B.2?D.6122 解析:该几何体为直三棱柱,其表面积为2×答案:C
×1×1+2×12+2×1=3+2,选C.
4.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED?EC向上折起,使A?B重合于点P,则三棱锥P—DCE的外接球的体积为( )
A.C.43?2768B.D.6?26?24 ?解析:由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. ∴折叠后得到一个正四面体.
作PF⊥平面DEC,垂足为F,F即为△DEC的中点. 取EC中点G,连接DG?PG, 过球心O作OH⊥平面PEC. 则垂足H为△PEC的中心. ∵PG=32,PF??3?631???,PH?. ?3??33??23∴OP=
PG?PHPF?2?6333?64.
∴外接球体积为答案:C
43π×OP3=
43×π×6643?68π.
5.如图,啤酒瓶的高为h,瓶内酒面高度为a,若将瓶盖盖好倒置,酒面高度为a′(a′+b=h),则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为( )
A.1+B.1+C.1+
babaab且a+b>h 且a+b