数，即 v(x) x12 x22 0
v(x) 2x1x1 2x2x2 2x1x2 2x2( x1 x2) 2x2
2
当x1 0，x2 0时， v(x) 0；当x1 0，x2 0时，v(x) 0，因此v(x)为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。
另选一个李雅普诺夫函数，例如：
v(x)
12
(x
1
x2) 2x1 x2
222
= x1 x2 为正定，而
32 122 x1
1 x2
v(x) (x1 x2)(x1 x2) 2x1x1 x2x2 (x1 x2)
22
为负定的，且当x ，有V(x) 。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。 （2） 闭
（3） 环系统的状态方程为 x x u
10 1 其齐次方程为 x1 x2 x2 x1
显然，原点为系统的唯一的平衡状态，选李雅普夫函数 v(x) x1 x2 0
v(x) 2x1x1 2x2x2 2(x1x2 x1x2) 0 可见，v(x)在任意x 0的值均保持为0，而v(x)保持为常数 v(x) x1 x2 c
这表示系统运动的相轨迹是一系列以原点为圆心，c为半径的圆。这时系统为李雅普诺夫的稳定，但在经典控制理论中，这种情况属于不稳定，这的自由解是
一个等幅的正弦振荡，要想使这个系统不稳定，必须改变系统的结构。
2
2
2
2
.
01 0
.
.
...
.
七、图示的控制系统，试设计状态反馈矩阵，使闭环系统输出超调量
5%
和峰值时间t
p
5s
。