好东西
2
RC2V0RC2V0
(4) I≤L . ≤L T≥
TL
2
*
9. 解： 充分性：由(Ai, bi)能控且A1, A2无公共特征值来证(A=
A1 b1
,=b b )能控. A2 2
由λ(A1) ≠ λ(A2)知若λi为A1的特征值，则λi-A2非奇异. 又由(A1, b1)能控知rank[λiI A1
b1]=n1,从而rank[λiI Ab]=n.
若λi为A2的特征值, 同理可证. 综合之, 即得(A, b)能控.
反证, 若A1, A2有相同的特征值λ，则
λI A1
rank
λI A1
rank
www.
11. 证明：
(A, b)不能控 反设不成立 A1, A2无公共特征值.
必要性：已知(A,B) 若AX=XA,XB=0, 则必有X=0.
XB=0
XAB=AXB=0
XA2B=AXAB=0 #
XAn 1B=0 XB
[
khd
≤n 2
λI A2
课
故(Ai, bi)能控
后
rank[sI A1b1]=n1, rank[sI A2
答
sI A1
rank
sI A2
b1
=n, s∈C b2
λI A2
b1
≤n 1<n b2
AB"An 1B=0
]
aw.
网
b2]=n2, s∈C
必要性：由(A, b)能控来证(Ai, bi)能控且A1, A2无公共特征值.
案
com
b1 b1 λiI A1 λiI A1
=rankrank I A0λλIAbii22 2
=n2+rank(λiI A1b1).