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显然，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a) F(b)
F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件， 所以，故至少存在一点 (a,b)，
使得 F'( ) 0 即 f( ) f'( )
即
bf(b) af(a)
0
b a
bf(b) af(a)
f( ) f'( ) #
b a
注：例8采用的方法称为常数k值法，通常它可以如下进行： （1） 令常数部分为k；
（2） 恒等变形，使等式一端为a及f(a)构成的代数式，另一端为b及f(b)构
成的代数式；
（3） 看两端的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只须把a（或b）
改为x，相应的函数值f(a)（或f(b)）改成f(x)，则替换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数F(x).
例9.设f(x)在[-1，1]内有三阶连续导数，且f( 1) 0，f(1) 1，f'(0) 0 求证： ( 1,1)使f'"( ) 3
证明：作三次多项式 p(x) Ax3 Bx2 Cx D，满足p(1) 1，p'(0) 0 p( 1) 0,p(0) f(0)，由此得 C 0，D f(0)，
A
1111
，B f(0) 即 p(x) x3 [ f(0)]x2 f(0)
2222
而令 (x) f(x) p(x)，则 ( 1) (0) '(0) (1) 0 先在[-1，0]和[0，1]上对 (x)用罗尔中值定理知存在
1 1 0 2 1，使得 '( 1) '(0) '( 2)，再在[ 1,0]，[0, 2]上
对 '(x)用罗尔中值定理得，使得 "( 1) "( 2) 1 1 0 2 2，
再在[ 1, 2]上对 "(x)用罗尔中值定理得， ( 1, 2) ( 1,1)，使得
'"( ) 0，又 '"(x) f'"(x) 3， 故 f'"( ) 3 注：例9所表述的方法称为多项式函数法，在运用时须注意所设函数导数的阶数