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1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理： 若函数f满足如下条件: (i) f在闭区间[a,b]上连续;
(ii) f在开区间(a,b)内可导, 则在(a,b)内至少存在一点 ,使得
f ( )
f(b) f(a)
. （2）
b a
图2
证明：作辅助函数F(x) f(x) f(a)
f(b) f(a)
(x a)
b a
显然,F(a) F(b) 0,且F在[a,b]上满足罗尔定理的另两个条件 故 (a,b),使
F ( ) f ( )
f(b) f(a)
0
b a
移项后即得所要证明的(2)式。
拉格朗日公式还有下面三种等价表示形式：
f(b) f(a) f ( )(b a),a b
f(b) f(a) f (a (b a))(b a),0 1; f(a h) f(a) f (a h)h,0 1
;
拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件的曲线y f(x)上至少存在一点P( ,f( )),该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB（图2）。 1.3 柯西（Cauchy）中值定理:
设函数f和g满足: (i) 在[a,b]上都连续;