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下可以化成者两个函数的导数的比值，这样就有可能使得作为未定型的分式的分子与分母所表示的函数，通过求导，而得到非未定型。这是一个基本的思路，我们有下面的定理： (
Hospital法则) 若函数f和g满足: (i) limf(x) limg(x) 0;
x x0
x x0
(ii) 在点x0的某空心邻域U0(x0)内两者都可导,且g (x) 0; (iii) lim
x x0
f (x)
A(A可为实数.也可为 或 ), g (x)
则 lim
x x0
f(x)f (x)
lim A. x x 0g(x)g(x)
证明: 补充定义f(x0) g(x0) 0,使得f与g在x0处连续,任取x U0(x0),
在区间[x0,x](或[x,x0])上应用柯西中值定理,有
f(x) f(x0)f ( )
g(x) g(x0)g ( )
即
f(x)f ( )
( 介于x0与x之间)。当令x x0时,也有 x0,故得 g(x)g ( )
f(x)f ( )f (x)
lim lim A lim
x x0g(x) x0g ( )x x0g (x)
注:若将其中x x0换成x x0,x x0,x ,x ,只要相应地修正条件(ii)
中的邻域,也可得同样的结论. 例2.求lim
1 cosx
.
x tan2x
解:易知,f(x) 1 cosx与g(x) tan2x在x0
的邻域内满足
Hospital
f (x) sinxcos3x1
法则的条件(i)和(ii),又因lim lim lim ,
x g (x)x 2tanxsec2xx 22故由洛必达法则求得lim
x x0
f(x)f (x)1 lim . x x0g (x)g(x)2
例3.求lim
lnx
.
x x