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作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则．中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数单调性、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。从而把握函数图象的各种几何特征．此外，在研究极值问题中也有重要的实际应用．
3.1 判别可微函数的单调性
定理1 设f(x)在区间[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上递增（减）
f (x) 0( 0).
证明：如f为增函数，则对每一x0 I，当x x0时，有 令x x0即得f'(x) 0
f(x) f(x0)
0
x x0
反之，若f(x)在区间I上恒有f'(x) 0，则对 x1,x2 I
（不妨设x1 x2）由Lagrange中值定理知， (x1,x2) I，使得 f(x2) f(x1) f'( )(x2 x1) 0
由此即得 f(x)在I上递增 # 例1.设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(0) 0,f'(x)单调增加 求证:
f(x)
在(0,a)内也单调增加 x
证明:由于 f(x) f(x) f(0) xf'( ), 0 x(当x 0时) 又f'(x)单调增加,有f'(x) f'( ) (当x 时)
f(x) xf'(x) f(x)xf'(x) xf'( )
' 22
xxx
f'(x) f'( )
0,x (0,a)
x
f(x)
在(0,a)内单调增加 x
3.2 求解不定式的极限
柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限。仔细观察柯西中值定理里的表达式的形式，可以看到两个函数式的比值，在一定条件