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微分中值定理应用初探
作 者 倪森 指导教师 邵 毅
摘要：本文首先介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，然后论述了微分中值定理在研究函数性质，求极限，求近似值和在实际生活中的应用。 关键词：中值定理 联系 应用
微分中值定理是微分学的基本定理之一，是沟通函数与其导数之间的桥梁，
是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具.应用十分广泛。 1、微分中值定理及其几何意义 1.1 罗尔（Rolle）中值定理：
若函数f满足如下条件: (i)f在闭区间[a,b]上连续; (ii)f在开区间(a,b)内可导; (iii)f(a) f(b),
则在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f ( ) 0 (1) 证明：因为f在闭区间[a,b]上连续,所以有最大值与最小值,分别用M,m表示,现分两种情况来讨论:
(1)若m M,则f在[a,b]上必为常数,从而结论显然成立。
(2) 若m M,则因f(a) f(b),使得最大值M与最小值m至少有一个在
(a,b)内某点 处取得,从而 是f的极值点。
图1
由条件(ii), f在点 处可导,故由费马定理推知f ( ) 0。 罗尔定理的几何意义:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线（图1）。