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3.6 证明有关重要理论
例12（导数极限定理）设函数f在点x0的某邻域U(x0)内连续，在Uo(x0)内可导且极限limf'(x)存在，则f在点x0可导，且
x x0
f'(x0) limf'(x)
x x0
o
证明：（1）任取x U (x0)，f(x)在[x0,x]上满足Lagrange中值定理，则
(x0,x)，使得
f(x) f(x0)
f'( ) （*）
x x0
由于 (x0,x)，故当x 时，有 ，对（*）式两边取极值，使 x0 x0
得 lim
x x0
f(x) f(x0)
limf'( ) f'(x0 0)
x x0x x0
（2）同理可得 f' (x0) f'(x0 0)
由于limf'(x) k ，故 f'(x0 0) f'(x0 0) k，从而
x x0
f' (x0) f' (x0) k，即 f'(x0) k
例13 .(微积分基本公式)如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一
个原函数，则 f(x)dx F(b) F(a)
ab
证明: 在[a,b]中任意插入若干个分点
a x0 x1 x2 xn 1 xn b
F(b) F(a) [F(xi) F(xi 1)]
i 1
n
对于上式右边的和式中的每一项应用微分中值定理
F(b) F(a) F'( )(xi xi 1)
i 1
n
f( )(xi xi 1), xi 1 xi.
i 1
n