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解: 由洛必达法则有 lim
3.3 证明不等式和等式 例4.设0 a b,证明不等式：
lnx(lnx) 1
lim lim 0.
x xx (x) x x
2alnb lna
a2 b2b a
证明：设 f(x)=lnx (x a 0) 根据拉格朗日中值定理得
1
lnb lna1
=(lnx)'|x =，a b
b a
由于
2alnb lna12a22
a b 2ab 2 （ ） # 222
a bb aba b
例5.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x) 0 求证：对函数 F(x) 证明：F'(x)
x1
f(t)dt,x (a,b) 有 F'(x) 0 成立 ax a
x1
[f(x)(x a) f(t)dt 2 a(x a)
=
1
[f(x)(x a) f( )(x a)] (a x)
(x a)2
f(x) f( )
(x a)
x
0 ( c x) # x a
=
=f'(c)
例6.设x1 0,x2 0,求证：x1ex2 x2ex1 (1 )e (x1 x2)，其中 在x1与x2之间。 证明：由于x1 0,x2 0,则x 0不在x1与x2之间
1ex
令f(x) ，g(x) ，
xx
则 f(x)与g(x)在x1与x2所限定的区间上满足柯西中值定理的条件
ex2ex1 e e
x2x1f'( ) 2
(1 )e
g'( ) x2x1