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即是多项式次数.
3.5 证明方程根的存在性与唯一性
例10.设f(x)在( , )内可微，求证：在f(x)的任何两个零点之间必有
f(x) f'(x)的一个零点
证明：取辅助函数 F(x) f(x)ex
显然，F(x)在[ , ]上连续，且在( , )内可微，其中 , 为f(x)的任意两个零点，即f( ) f( ) 0，且 F( ) f( )e 0 f( )e F( )
F(x)在[ , ]上满足罗尔定理的条件， 可知，于是，至少存在一点 ( , )
使得 F'( ) 0 即 e f( ) e f'( ) 0 也即 f( ) f'( ) 0 例1设f(x)在[0，1]上可微，对于[0，1]上每一个x，函数f(x)的值都在开区
间（0，1）内，且f'(x) 1，求证：在（0，1）内有且仅有一个x，使得f(x) x 证明：令 F(x) f(x) x 由题意知，F(x)在[0，1]上连续，又因 f(x) (0,1) F(0) f(0) 0 0,F(1) f(1) 1 0
由闭区间上连续函数的零点定理可知，在（0，1）内至少有一个x，使 F(x) 0，即 f(x) x
下用反证法证F(x)在（0，1）内至多有一个零点
否则， x1,x2 (0,1)，x1 x2，使得 f(x1) x1，f(x2) x2 由拉格朗日中值定理知，至少存在一个 x (x1,x2) (0,1)，使得
f'(x)
f(x2) f(x1)x2 x1
1 与题设矛盾，命题得证 。
x2 x1x2 x1
注：在证唯一性时，常先利用零点定理或罗尔定理证明函数至少有一个实根，再利用函数的单调性证明最多只有一个实根，从而得证。