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整理得，x1ex2 x2ex1 (1 )e (x1 x2) #
3.4 证明中值点的存在性 例7.设函数f(x)在[0，
11
]上二阶可导，且f(0) f'(0),f() 0 22
13f'( )
求证：至少存在一点 (0,)，使得f"( ) 。
21 2
分析：结论可写为 f"( )(1 2 ) 2f'( ) f'( )
x
f"(x)(1 2x) 2f'(x) f'(x)
即 [f'(x)(1 2x)]' f'(x) f'(x)(1 2x) f(x) c 令 c 0，移项得 f'(x)(1 2x) f(x) 0 取 F(x) f'(x)(1 2x) f(x)
证明： 作辅助函数 F(x) f'(x)(1 2x) f(x) 易见，由题设可知 F(x)在[0，
11
]上连续，在（0，）内可导，且 22
F(0) f'(0)(1 0) f(0) 0
1111
F() f'()(1 2 ) f() 0 2222
1
于是，F(x)在[0，]上满足罗尔定理
2
1
，使得 F'( ) 0 至少存在一点 （0，）2
即 f"( )(1 2 ) 3f'( ) 0
例8.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求证： 至少存在一点 (a,b)，使得 分析：令
bf(b) af(a)
f( ) f'( )
b a
bf(b) af(a)
k，则 bf(b) kb af(a) ka
b a
可见，这是一个对称式（a与b互换，等式不变），故取
F(x) xf(x) kx
证明：取辅助函数 F(x) xf(x)
bf(b) af(a)
x
b a