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(ii) 在(a,b)上都可导; (iii) f’(x)和g’(x)不同时为零;
(iv)
g(a) g(b),
则在
内至少存在 (a,b),使得
f ( )f(b) f(a)
(3)
g ( )g(b) g(a)
f(b) f(a)
(g(x) g(a)),
g(b) g(a)
证 明： 作辅助函数 F(x) f(x) f(a)
易见F在[a,b]上满足罗尔定理的条件,故存在 (a,b),使得
F ( ) f ( )
f(b) f(a)
g ( ) 0
g(b) g(a)
因为g ( ) 0(否则由上式f ( ) 0),所以可把上式改写成(3)式。 此定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义,只是要把f,g这两个函数写作以x为参量的参数方程
u g(x),
x [a,b].
v f(x)
在uov平面上表示一段曲线,由于(3)式右边的
f(b) f(a)
表示连接该曲线两端
g(b) g(a)
点的弦AB的斜率,而(3)式左边的
f ( )dv
g ( )du
,则表示该曲线上与x 相对应
x
的一点P(g( ),f( ))处的切线的斜率。因此(3)式即表示上述切线与弦AB互相平行（图3）。 1.4 泰勒公式
若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)的多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2! (x-x.)^2,+f'''(x.)/3! (x-x.)^3+…