F[Rxy( )] X(f) Y(f)
试证明。
下面给出两种证明方法。 证明1：
F[Rxy( )] x(t) y*(t )dt e j2 f d
x(t) y*(t )e j2 f d dt
y*(t )e j2 f( t)d( t) dt e j2 ft x(t)
x(t)e j2 f dt y*( ( t))e j2 f( t)d( t)
X(f) Y*(f)
这里利用式：F[y*( t)] Y*(f)，是FT的“反褶共轭”性质。 证明2：
根据相关运算与卷积运算之间的关系
Rxy( ) x( t) y(t)
利用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。
在式中，令x y，则可得
自相关的傅里叶变换
F[Rx( )] X(f) X*(f) X(f)
式中说明，“函数相关的FT是其幅度谱的平方”，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对”。
利用FT的奇偶虚实性，若y(t)是实偶函数，那么Y(f)也是实偶函数。这样我们就得到了一个特例结论，
2
F[Rxy( )] X(f) Y*(f) X(f) Y(f)
即当y(t)是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。 2-24．帕斯瓦尔定理
证明：
x(t)dt
2
2
X(f)df
f(t)dt
2
x(t)x*(t)dt
*
x(t) X(f)ej2 ftdf dt
* j2 ft
x(t) X(f)edf dt
* X(f) x(t)e j2 ftdt df
(IFT定义)
(交换积分次序)(FT定义)
X*(f)X(f)dfX(f)df
2