组合数学讲义
性质1知an也是（3.2.1）的解。
再证（3.2.1）的所有解都可以表为（3.2.3）的形式。设bn是（3.2.1）的一个解，且满足初始条件bi＝di，i＝0,1,2, ,k－1。令bn 组
000
A1q1 A2q2 Akqk b0
A1q1 A2q2 Akqk b1
Aqk 1 Aqk 1 Aqk 1 b 1122kkk 1
n
Aq ii，代入初始条件，可得关于Ai的线性方程i 1k
（3.2.4）
其系数行列式为著名的范德蒙（Vandermonde）行列式：
1q1
2
D q1
k 1q1
1q2
2q2
1qk
2qk qj qi 0
1 i j k
k 1k 1q2 qk
n
所以式（3.2.4）有唯一解。即b一定可以表示为(3.2.3)的形式。
由于bn的任意性，故知结论成立。
例3.2.1 求递推关系an 4an 1 an 2 6an 3的通解。 （解）特征方程为x3 4x2 x 6 0，解之得特征根
q1＝－1， q2＝2，q3＝3
n
∴ 通解为 an A 1 B2n C3n
其中，A、B、C为任意常数。