小初高试卷教案类
K12小学初中高中 (1)求证：EF ⊥BC ；
(2)求二面角E －BF －C 的正弦值．
(1)证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．
易得B (0,0,0)，A (0，－1，3)，D (3，－1,0)，
C (0,2,0)．
因而E ? ????0，12，32，F ? ??
??32，12，0. 所以EF →
＝? ????32，0，－32，BC →
＝(0,2,0)， 因此EF →·BC →
＝0.
从而EF →⊥BC →
，所以EF ⊥BC .
(2)解：平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)．
设平面BEF 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，
又BF →＝? ????32，12，0，BE →＝? ??
??0，12，32， 由????? n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个n 2＝(1，－3，1)．
设二面角E －BF －C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，
则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝??????n 1·n 2|n 1||n 2|＝15
，