小初高试卷教案类
K12小学初中高中
[典题3] 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1， 四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．
(1)求证：O 1O ⊥底面ABCD ；
(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1－OB 1－D 的余弦值．
(1)[证明] 因为四边形ACC 1A 1为矩形，
所以CC 1⊥AC ，同理DD 1⊥BD .
因为CC 1∥DD 1，
所以CC 1⊥BD ，而AC ∩BD ＝O ，
因此CC 1⊥底面ABCD .
由题设知，O 1O ∥C 1C ，
故O 1O ⊥底面ABCD .
(2)[解] 因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等， 所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .
又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz
.
不妨设AB ＝2，因为∠CBA ＝60°，
所以OB ＝3，OC ＝1.
于是相关各点的坐标为O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)．