想和分类讨论的思想，高超的运算能力。难度较大。 【解析】（1）
①因为F x xex，所以当x＞0时，F x 0；当x＜0时，F x 0． 因此F(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减， 所以F(x)有极小值为f (0)＝－1，无极大值． ②h(x)＝F(x)＋e∣g(x)－a∣＝(x－1)ex＋e∣lnx－a∣．
e
当x≥ea时，h(x)＝(x－1)ex＋e(lnx－a)，h (x)＝xex＋0恒成立，h(x)在(ea，＋∞)上单
x
调递增，
ee
当0＜x≤ea时，h(x)＝(x－1)ex＋e(a－lnx)，h (x)＝xex－[h (x)] ＝(x＋1) ex＞0恒成
xx
立．所以h (x)在(0，ea]上单调递增，而h (1)＝0． 因此当a≤0时，h (x)≤0恒成立．
当a＞0时，当x∈(0，1)时，h (x)＜0；当x∈[1，ea]时，h (x)≥0． 综上有：当a≤0时，h(x)减区间为(0，ea]，增区间为(ea，＋∞)． 当a＞0时，h(x)减区间为(0，1)，增区间为[1，＋∞)． （2）G x g x f x lnx ax2 (3a 1)x (2a 1)
令H(x1,x2)
G(x1) G(x2)x x
G(12)
22
x xx x1a2
(lnx1 lnx2) ln(12) (x12 x2) a(12)2 2222
a1 (x1 x2)2 2
(x1 x2) ln 。 42 4x1x2
先证明：lnx x 1 0对任意x (0,1) (1, )恒成立，即
lnx x 1 （*）恒成立．
设y lnx x 1 x 0,x 1 ，y
11 x1 x
1 ，而y 在 0,1 上正，xxx
1, 上负，所以y lnx x 1 x 0,x 1 在 0,1 上增， 1, 上减，则
y lnx x 1 ln1 1 1 0
(x1 x2)2(x1 x2)2
1 1． （ⅰ）如果x1,x2 (0,1)，且x1 x2，则
4x1x24x1x2