检验统计量t=
μ0s/n
，拒绝域t>tα(n 1)
2
算得t=
66.5 7015/36
=1.4<t0.025(35)=2.0301
可以认为全体考试的成绩为70分
. 7设X1,X2,Λ,Xn是总体X~π(λ)的样本, 证明对于任意常数α, 统计量, S2,
α+(1 α)S2都是参数λ的无偏估计量.
证 由于X~π(λ), 因此由例1和例2可得
E()=E(X)=λ, E(S2)=D(X)=λ,
E(α+(1 α)S2)=αE(+(1 α)E(S2)=αλ+(1 α)λ=λ,
所以S,α+(1 α)S都是λ的无偏估计量.
8设总体X的数学期望和方差都存在, X1,X2,X3是X的样本, 证明统计量
2
2
1=μ
XXX1X2X3XXXX
2=1+2+3, μ 3=1+2+3. ++, μ
236244333
都是总体均值E(X)=μ的无偏估计量, 并确定哪个估计量更有效.
解 设D(X)=σ, 由于
2
1)=E E(μ
11 X1X2X3 1
++ =μ+μ+μ=μ, 36 236 2
11 X1X2X3 1++=μ+μ+μ=μ, 44 244 2
2)=E E(μ
X 1X11 X
3)=E 1+2+3 =μ+μ+μ=μ. E(μ
33 333 3
1,μ 2,μ 3都是总体均值μ的无偏估计量. 又由于 故μ