详细的《数值分析简明教程》第二版课后习题答案
4.1 迭代法及收敛定理
1、（p.153，题1）试取x0 1，用迭代公式xk 1
3
2
20
2xk 2xk 10
(k 0,1,2, )，求
方程x 2x 10x 20 0的根，要求准确到10。
【解】 迭代计算结果列于下表
3
因为|x9 x8| 0.00082 10 3，所以x x9 1.36906。 2、（p.153，题2）证明方程x 代过程xk 1
1
cosx有且仅有一实根。试确定这样的区间[a,b]，使迭2
1
cosxk对x0 [a,b]均收敛。 2
1111
【证明】设：g(x) cosx，则当x R时，g(x) cosx [ ,]，且一阶导数
2222
1111
g'(x) sinx连续， |g'(x)| | sinx| 1，所以迭代过程xk 1 cosxk对
2222
1
（压缩映像定理），方程x cosx有且仅有一实根。<证毕> x0 R均收敛。
2
3、（p.153，题4）证明迭代过程xk 1
xk1
对任意初值x0 1均收敛于2。
2xk
g(x) 【证明】设：
x1x1x1
，对于任意x 1，因为 2所以g(x) 2。 2，2x2x2x
一阶导数g'(x)
x1111 2 1， 根据压缩映像定理，迭代公式xk 1 k 对任意2x22xk
初值x0 1均收敛。假设limxk x，对迭代式xk 1
k
xk1
两边取极限，则有
2xk
x 1x ，则x
2x
2
2，解得x 2，因x 2不在x 1范围内，须舍去。
故x
2。<证毕>