（1）证明 设=p, =q，=r.
由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
=-=
1212
（+）-12
11=22
（q+r-p），
2
2
2
2
∴MN²AB=（q+r-p）²p=（q²p+r²p-p）=（a²cos60°+a²cos60°-a）=0. ∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.
（2）解 由（1）可知=（q+r-p）∴||==（q+r-p） =［q+r+p+2（q²r-p²q-r²p）］=[a+a+a+2（=³2a=
1
4
2
12
12
22
14
2
14
222
14
222
a2a2a2
--）]
222
a222
. ∴|MN|=a,∴MN的长为a.
222
(3)解 设向量与的夹角为 .
∵AN=(AC+AD)=(q+r), =AC-AM=q-p,
∴²=（q+r）²（q-p）=（q-q²p+r²q-r²p） =(a-a²cos60°+a²cos60°-a²cos60°)=又∵||=||=
a， 2
2a2
²²cos=. ∴cos =， aa
3222
2
3
12
2
121212
121212
2
1212
12
22
12
2
12
a2a2a2a2
（a-+-）=.
4242
2
∴²=||²||²cos =
2
3
∴向量AN与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM夹角的余弦值为. 例3、 （1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a²x=-18的向量x的坐标；
（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P的坐标使得=（-AC）；
（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a²b；②a与b夹角的余弦值； ③确定 ， 的值使得 a+ b与z轴垂直，且（ a+ b）²（a+b）=53. 解 （1）∵x与a共线，故可设x=ka，
由a²x=-18得a²ka=k|a|=k（4 1 4）=9k，∴9k=-18，故k=-2. ∴x=-2a=（-4，2，-4）.
（2）设P（x，y，z），则=（x-2，y+1，z-2）， ，=（-4，3，1），∵==（2，6，-3）
1
2
12
2
2
12
（-）.
12
32
∴（x-2，y+1，z-2）=［（2，6，-3）-（-4，3，1）］=（6，3，-4）=(3，，-2)