不能构成C1[a,b]上的内积。
(2)若(f,g) f (x)g (x)dx f(a)g(a)，则
ab
(g,f) g (x)f (x)dx g(a)f(a) (f,g), K
a
b
( f,g) [ f(x)] g (x)dx af(a)g(a)
a
b
[ f (x)g (x)dx f(a)g(a)]
a
b
(f,g)
h C1[a,b],则
(f g,h) [f(x) g(x)] h (x)dx [f(a)g(a)]h(a)
ab
f (x)h (x)dx f(a)h(a) f (x)h (x)dx g(a)h(a)
a
a
bb
(f,h) (h,g)
(f,f) [f (x)]2dx f2(a) 0
ab
若(f,f) 0，则
[f (x)]dx 0,且f
a
b
22
(a) 0
f (x) 0,f(a) 0 f(x) 0
即当且仅当f 0时，(f,f) 0. 故可以构成C[a,b]上的内积。
8。对权函数 (x) 1 x，区间[ 1,1]，试求首项系数为1的正交多项式 n(x),n 0,1,2,3. 解：
若 (x) 1 x，则区间[ 1,1]上内积为
2
2
1
(f,g) f(x)g(x) (x)dx
1
1
定义 0(x) 1，则
n 1(x) (x n) n(x) n n 1(x)
其中