(xj) (xj x1)(xj x2) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn) n
令g(x) xk,
xkj
g x1,x2, ,xn (x)j 1nj
n
xkj
则g x1,x2, ,xn
(xj)j 1 n
n
又
n
j 1
n
xk1j
g x1,x2, ,xn f (xj)an
j 1
xk 0,0 k n 2;j
1
f (xj) n0,k n 1
得证。
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
(4)
R3(x) f ()( x
k
x2) (x
k 1
x
2
) / 4!,
k
,x (k1x
)
解：
若x [xk,xk 1]，且插值多项式满足条件
(xk) f (xk) H3(xk) f(xk),H3
(xk 1) f (xk 1) H3(xk 1) f(xk 1),H3
插值余项为R(x) f(x) H3(x) 由插值条件可知R(xk) R(xk 1) 0 且R (xk) R (xk 1) 0
R(x)可写成R(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2
其中g(x)是关于x的待定函数，
现把x看成[xk,xk 1]上的一个固定点，作函数
(t) f(t) H3(t) g(x)(t xk)2(t xk 1)2
根据余项性质，有
(xk) 0, (xk 1) 0