若插值节点为xj,j 0,1, ,n，则函数f(x)的n次插值多项式为Ln(x)
xl(x)。
kjjj 0
n
f(n 1)( )
插值余项为Rn(x) f(x) Ln(x) n 1(x)
(n 1)!
又 k n,
f(n 1)( ) 0
Rn(x) 0
k
n, ) xkjlj(x) x (k 0,1,j 0n
n
(2) (xj x)klj(x)
j 0
( Ckjxij( x)k i)lj(x)
j 0n
i 0i
k
nn
C( x)( xijlj(x))
k i
i 0
j 0
n
又 0 i n 由上题结论可知
xl(x) x
kjj
i
j 0
n
原式 Cki( x)k ixi
i 0
n
(x x)k 0
得证。
5设f(x) C a,b 且f(a) f(b) 0,求证：
2
1
maxf(x) (b a)2maxf (x a x ba x b8
解：令x0 a,x1 b，以此为插值节点，则线性插值多项式为
L1(x) f(x0)
= f(a)
x x1x x0
f(x1)
x0 x1x x0x bx a
f(b) a bx a