(x) f(x) H3(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2
f(x) H3(x) R(x) 0
(t) g(x)[2(t xk)(t xk 1)2 2(t xk 1)(t xk)2] (t) f (t) H3 (xk) 0
(xk 1) 0
由罗尔定理可知，存在 (xk,x)和 (x,xk 1)，使
( 1) 0, ( 2) 0
即 (x)在[xk,xk 1]上有四个互异零点。
根据罗尔定理， (t)在 (t)的两个零点间至少有一个零点， 故 (t)在(xk,xk 1)内至少有三个互异零点， 依此类推，
(4)
(t)在(xk,xk 1)内至少有一个零点。
记为 (xk,xk 1)使
(4)( ) f(4)( ) H3(4)( ) 4!g(x) 0
又 H3(4)(t) 0
f(4)( )
g(x) , (xk,xk 1)
4!
其中 依赖于x
f(4)( )
R(x) (x xk)2(x xk 1)2
4!
分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k 0,1, ,n)，设步长为h，即
xk x0 kh,k 0,1, ,n在小区间[xk,xk 1]上
f(4)( )
R(x) (x xk)2(x xk 1)2
4! 1(4)
R(x) f( )(x xk)2(x xk 1)2
4!