f(x h) f(x) f (x)h
其中 (x,x h)
11(m)1f (x)h2 f(x)hm f(m 1)( )hm 1 2m!(m 1)!
又 f(x)是次数为m的多项式
f(m 1)( ) 0
f(x) f(x h) f(x)
f (x)h
11(m)
f (x)h2 f(x)hm 2m!
f(x)为m 1阶多项式
2f(x) ( f(x)) 2f(x)为m 2阶多项式
依此过程递推，得 kf(x)是m k次多项式
mf(x)是常数
当l为正整数时， m 1f(x) 0
12．若f(x) a0 a1x an 1xn 1 anxn有n个不同实根x1,x2, ,xn， 证明：
j 1
n
xk 0,0 k n 2;j
1
f (xj) n0,k n 1
证明： f(x)有个不同实根x1,x2, ,xn 且f(x) a0 a1x an 1xn 1 anxn
f(x) an(x x1)(x x2) (x xn)
令 n(x) (x x1)(x x2) (x xn) 则
j 1
n
knxkxjj
(xj)f (xj)j 1an n
(x) (x x2)(x x3) (x xn) (x x1)(x x3) (x xn) 而 n
(x x1)(x x2) (x xn 1)