线性代数习题及答案,华南理工大学版的
a1
k b1 bn a k b1a1 bnan） 。 m （其中
1 1 13. 设A是n阶方阵，X是n 1矩阵 ，证明：
1）AX的第i个元素等于A的第i行元素之和；
1
2）如果A可逆，且A的每一行元素之和等于常数a，则A的每一行元素之和
也相等。
证明：1）记
a11 aA 21
an1
a12a22 an2
a1n a11 a12 a1n
a a a a2n 2n AX 2122
ann a a an2nn n1，则。
a
a
AX aX
a 2）若A的每一行元素之和等于常数a，由1） ，由于A可
11
A 1X X
a，即A 1的每一行元素之和等于常数a 。 逆，所以a 0。从而
4. 证明：
1）上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；
2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。 证明：1）记
A aij
n n
，
B bjk
n n
为上三角矩阵，C AB 。则i j k时，
bjk 0。对任意s，当i s时，ais 0，当k i s时bsk 0，即任意s，
aisbsk 0。从而i k时，cik ai1b1j aisbsk ainbnk 0。故上三角矩阵的aij 0
，
乘积仍是上三角矩阵。同理可证明下三角矩阵的情形。
2）对可逆的上三角矩阵
a11 0A
0
a12a22 0
a1n a2n
ann aii 0i 1,2, ,n
，（），对