线性代数习题及答案,华南理工大学版的
1.
证明：线性方程组
a11y1 a12y2 a1nyn b1
ay ay ay b
mnnm m11m22
有解的充分必要条件是
a11x1 a12x2 am1xm 0
ax ax ax 0
mnm 1n12n2
的解全是 b1x1 bmxm 0的解。
a11y1 a12y2 a1nyn b1
ay ay ay b
m22mnnm
证明：1）若方程组 m11有解，设(k1,k2, ,km)是方程组
a11x1 a12x2 am1xm 0
ax ax ax 0
mnm 1n12n2
的解。则
a11k1 am1km 0
ak ak 0
mnm 1n1
，从而
b1k1 bmkm (a11k1 am1km)y1 (a1nk1 amnkm)yn 0 。
a11x1 a12x2 am1xm 0
ax ax ax 0
mnm 1n12n2
2）若
的解全是 b1x1 bmxm 0的解，即
a11x1 a12x2 am1xm 0 a11x1 a12x2 am1xm 0
a1nx1 a2nx2 amnxm 0 ax ax ax 0 bx bx bmxm 0mnm 1n12n2 与 1122 同解，所以矩阵
a11a12 a1n
a11a12 a1n am1am2 amn a bb ba a2n 1mn m1m2
与矩阵
的秩相等。而它们的转置即为方程组
a11y1 a12y2 a1nyn b1
ay ay ay b
mnnm m11m22
的系数矩阵和增广矩阵，由于转置矩阵与原矩阵的
秩相等，所以方程组
2. 已知平面上三条不同直线的方程分别为：
a11y1 a12y2 a1nyn b1
ay ay ay b
mnnm m11m22
有解。