线性代数习题及答案,华南理工大学版的
)2 k(3 2 11 2 )3 证明：设有 k1 1 k( 0，即
(k1 k2 k3) 1 (k2 k3) 2 k3 3 0 。由于 1， 2， 3线性无关，所以(k1 k2 k3) (k2 k3) k3 0， 1 2， 1 2 3
推出k1 k2 k3 0。故 1，
也线性无关。
5. 设向量组 1, , s线性无关，而向量组 1, , s， 线性相关。证明 可表示成 1, , s的线性组合，且表示式是唯一的。
证明：因为向量组 1, , s， 线性相关，故存在不全为零的k1, , ks,k使得
k1 1+ ks s k 0 。若k 0，则k1 1+ ks s 0。又 1, , s线性无
关，可得k1 ks 0，此与k1, , ks,k不全为零矛盾，所以k 0。从而有
(k1 1+ ks s)
1k
，即 可表示成 1, , s的线性组合。
下证表示式是唯一。设有 k1 1+ ks s l1 1+ ls s，可得
(k1 l1) 1+ (ks ls) s 0 。由 1, , s线性无关，可得k1 l1 ks ls 0，即表示式是唯一的。
6. 判断下列两向量组是否等价：
1 (1,2,1,1)
(1,1,1,1) 1） 2 ，
1 (1,1, 1, 1)
2 (1, 1,1, 1) (1, 1, 1,1) 3
；
1 (1,2,1)
(1, 1, 2)
2） ， 2 ；
3） 1， 2， 3； 1 1 2， 2 2 3， 3 3 1。
1 (1,1,0)
2 (0,1,1) (1,0, 1) 3
1 2 1 1
1111
解：1）因为等价。
111 11
0 1 1 1 1
11 1 00
1 11 00
111 1 3 3 101
01 1
，故两向量组不
101 11 101 11 110 2 1 01 1 1 2 01 1 1 2 000 00
，故两向量组等价。 2）因为
3）因为 1 ( 2 3)，所以无论 1， 2， 3的相关性如何， 1, 2, 3都是线性