线性代数习题及答案,华南理工大学版的
4. 判断下列方程组解的存在性：
x1 x2 x3 1 ax bx cx d x1 ax2 a2x3 a3
23 1
223222
x bx bx bax bx cx d 123123
23 a3x b3x c3x d3
x cx cx c123123 1） ； 2） 。
1
a a2 3a解：1）方程组的增广矩阵为：
某一数时，方程组有解。
1
bc d b2c2 d2
b3c3 d3 。当d不等于a，b，c，中
任一数时，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组无解；当d等于a，b，c中
1aa2 a3 23 1bb b 1cc2 c3
。当a，b，c互不相同时，系 2）方程组的增广矩阵为：
数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为3，方程组有唯一解；当a，b，c有某两个相等时，或a，b，c全相等时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩分别为1或2，方程组有无
穷个解。
5．设有齐次线性方程组
11
ax1 bx2 bxn 0 bx ax bx 0 12n
bx1 bx2 axn 0 ，a 0, b 0, n 2。
讨论方程组何时仅有零解？何时有无穷多解？
ab b
ba b
[a (n 1)b](a b)n 1
bb a解：方程组系数矩阵的行列式 。当
aa
b a,b a,n 1
[a (n 1)b](a b) 0时，即1 n时，方程组仅有零解；当1 n时，
方程组有无穷多解。
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